الف) تنها عدد اول زوج، عدد ۲ است؛ بنابراین عدد اول زوج بزرگ‌تر از ۲ وجود ندارد:
$A = \emptyset \implies n(A) = 0$ (مجموعه تهی).
ب) این مجموعه شامل یک عضو (که نماد تهی است) می‌باشد:
$B = \{ \emptyset \} \implies n(B) = 1$ (مجموعه تک‌عضوی).
ج) تنها عدد طبیعی که نه اول است و نه مرکب، عدد ۱ است که شمارنده ۳۶ نیز هست:
$C = \{ 1 \} \implies n(C) = 1$ (مجموعه تک‌عضوی).

الف) با حذف عضوهای تکراری در ارقام عدد: $A = \{ 1, 2, 4, 7 \}$
شمارنده‌های اول ۴۲ از تجزیه $42 = 2 \times 3 \times 7$ به دست می‌آیند: $B = \{ 2, 3, 7 \}$
ب) اعضای اشتراک دو مجموعه: $A \cap B = \{ 2, 7 \}$
در رسم نمودار ون:
• در بخش اشتراک وسط دو دایره: اعداد ۲ و ۷ نوشته می‌شوند.
• در بخش اختصاصی مجموعه $A$ (خارج اشتراک): اعداد ۱ و ۴ قرار می‌گیرند.
• در بخش اختصاصی مجموعه $B$ (خارج اشتراک): عدد ۳ قرار می‌گیرد.

با بررسی اعضای مجموعه مرجع $A$ داریم:
• برای $B$: توان دوم اعداد $-1, 0, 1$ کمتر یا مساوی ۲ است $\implies B = \{ -1, 0, 1 \}$
• برای $C$: تنها توان چهارم اعداد $-1$ و $1$ برابر ۱ می‌شود $\implies C = \{ -1, 1 \}$
• برای $D$: اعضایی از $A$ که بین $-1$ و $1$ هستند $\implies D = \{ -1, 0, 1 \}$
نتیجه: دو مجموعه $B$ و $D$ با هم برابرند ($B = D$).

الف) اعضا مکعب کامل اعداد طبیعی ۱ تا ۵ هستند ($1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3$):
$$E = \{ x^3 \mid x \in \mathbb{N} , 1 \le x \le 5 \}$$ ب) رابطه تعداد زیرمجموعه‌ها $2^n$ است:
$$2^n = 64 \implies 2^n = 2^6 \implies n = 6$$ بنابراین این مجموعه دارای ۶ عضو است.
تعداد زیرمجموعه‌های یک‌عضوی برابر تعداد اعضای مجموعه است؛ پس دارای ۶ زیرمجموعه تک‌عضوی می‌باشد.

الف) با حذف اعداد طبیعی از اعداد حسابی، تنها عدد صفر می‌ماند: $W - \mathbb{N} = \{ 0 \}$
ب) با حذف اعداد حسابی از اعداد صحیح، اعداد صحیح منفی می‌مانند: $\mathbb{Z} - W = \mathbb{Z}^- = \{ -1, -2, -3, \dots \}$
ج) چون $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ است، اشتراک آن‌ها برابر $\mathbb{N}$ است؛ در نتیجه: $(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup W = \mathbb{N} \cup W = W$
د) چون تمامی اعداد طبیعی گویا هستند ($\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}$)، تفاضل آن‌ها تهی است: $\mathbb{N} - \mathbb{Q} = \emptyset$

چون $A$ زیرمجموعه $B$ است:
الف) اشتراک دو مجموعه برابر با مجموعه کوچک‌تر است: $A \cap B = A$
ب) اجتماع دو مجموعه برابر با مجموعه بزرگ‌تر است: $A \cup B = B$
ج) چون تمام اعضای $A$ داخل $B$ هستند، تفاضل تهی است: $A - B = \emptyset$
د) قسمت خارج از $A$ در $B$ همراه با خود $A$، کل مجموعه $B$ را می‌سازد: $(B - A) \cup A = B$

تعداد کل برآمدهای پرتاب دو تاس: $n(S) = 6 \times 6 = 36$
الف) پیشامد مجموع اعداد برابر ۸:
$A = \{ (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) \} \implies n(A) = 5$
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$$ ب) اعداد اول روی هر تاس $\{ 2, 3, 5 \}$ هستند (۳ حالت).
تعداد حالت‌هایی که هر دو تاس اول باشند: $n(B) = 3 \times 3 = 9$
$$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$

تعداد کل مهره‌ها: $n(S) = 4 + 5 + 3 = 12$
الف) مهره آبی نباشد یعنی یا قرمز باشد یا سبز ($4 + 3 = 7$ مهره):
$$P(\text{غیرآبی}) = \frac{7}{12}$$ ب) مهره قرمز یا سبز باشد (مشابه بند الف):
$$P(\text{قرمز یا سبز}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$$ ج) در کیسه هیچ مهره سفیدی وجود ندارد (پیشامد غیرممکن):
$$P(\text{سفید}) = \frac{0}{12} = 0$$